线性代数学习笔记（持续更新中)

Linear Systems Revisited

声明：关于术语翻译

因为写博客的目的是为了总结知识，方便笔者自己理解，所以我故意不使用中文教科书上一些常见的、而我觉得翻译得词不达意的术语翻译。如行列式、齐次、秩等概念，一概改成了使用方便理解的、自创的译法。同时我无意误导别人，所以如果你不喜欢，那就请直接忽略这篇文章。

$Ax = 0$ 叫做一个均质系统 (homogeneous system)

而 $Ax = b$ 是一个非均质系统 (nonhomogeneous system).

如果 $Ax = b$ 是 consistent 的（自洽的，即有解的），并且，$x_0$ 是一个解的话，那么：

$y = x_0 + z$ 一定也是它的另一个解。这里 $z$ 是 $A$ 的 null space $N(A)$ 的一个元素。

以一个 m x 3 的 matrix A 为例，因为其作用的向量是 3 维的，所以可以在 3 维空间中表示。

此时，Ax = 0 这个 homogeneous system 的解空间，对应于过原点的一个平面。原因是，考虑 trivial case, (0, 0, 0) 很明显是 Ax = 0 的一个解。换句话说，这个过原点的平面就是 A 的 null space.

我们再假设 x0 是 Ax = b 这个 nonhomogeneous system 的一个解。

那么，如果我们把向量 x0 的起点放在原点，过它的终点作另一个平面，平行于之前过原点的那个平面。那么，这个新的平面就是 Ax = b 的解空间。

为什么呢？因为这个新的平面上的任何一个点 x2，都可以通过过原点的 null space 平面上的一个点 x1，加上 x0 得到。

而 $A x_2 = A(x_1 + x_0) = A x_1 + A x_0 = 0 + b = b$

所以任何一个在这个平面上的 $x_2$ 都是 $Ax = b$ 的解。

为了探究可以用于生成一个线性空间的最少的向量集合(可用的操作仅限于向量加法和 scaler 乘法), 也就是 minimal spanning set, 我们需要研究向量之间是否有依赖关系。

定义：什么叫线性不相关？

$v_1, v_2, \dots, v_n$ 互相线性不相关的意思是，如果 $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n = 0$ 就意味着所有的 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 都必须为 0.

推论

minimal spanning set 里的向量 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 是线性不相关的；反之亦然。

minimal spanning set 就叫做 basis（基）。

定义：线性相关

当 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 的线性组合 $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n = 0$ 时，如果 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 不全为 0，则 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 线性相关。

原因很显然，因为至少可以找到一个系数 $c_i$ 不为 0 的向量 $v_i$, 将它移项后改写成用其他的向量的组合来表示的形式，所以他们是相关的。

线性相关的判定

令 $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)$，那么 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 线性相关的条件是 $X$ 是 singular 的（奇异的)。

换句话说，$X$ 是不可逆的 (not invertable)，它的决定条件（determinant）为 0。

定理

如果 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 是向量空间 V 里的向量。那么，当且仅当它们互相线性不相关的时候，$Span(v_1, v_2, \dots, v_n)$ 可以被写成这些向量的唯一的线性组合形式。