Linear Algebra 学习笔记 (2)

Row Space 和 Column Space

matrix 的 rows vectors span 的 space 就叫做 row space, 而 column vectors span 的 space 就是 column space.

Rank

matrix 的 rank 就是 row space 的维数。

如何找到 matrix 的 column space 的 basis?

可以先把 matrix A reduce 为 row echelon form U, 然后找到 U 中 leading element 为 1 的那些列，再回过头去看 A 中对应列的 column vectors, 就是 column space 的 basis.

matrix 的 row space 的维数和 column space 的维数相同。

The Rank-Nullity Theorem

If A is an m x n matrix, then the rank of A plus the nullity of A equals n.

nullity 指的是 N(A) 的维数。

矩阵的 rank 加上其 null space 的维数，就等于其列数。

因为 null space 的维数实际上是自由变量的个数，而列数减去自由变量数，剩下的就是哪些 dependent variables 的数量，正好等于 rank. 可以这么理解。

什么是线性变换 (linear transformation)

从一个向量空间，映射到另一个向量空间的这种映射关系，称之为线性变换，可以被表示为一个矩阵的形式。

一个线性变换 L (m x n) 可以把 n 维的向量空间 V 映射到另一个 m 维的向量空间 W.

线性变换 L 必须满足一个条件，即 scalar 乘法 (homogeneous, 均质性) 以及可加性。

记作：

L: V -> W

当 V 和 W 相同时，

L: V -> V, 我们称 L 是 V 上的一个 linear operator.

The Image and Kernel

若 L: V -> W 是一个线性变换，

那么，对于 V 中的一些 v, 其映射 L(v) 在 W 中是零向量 (zero vector), 那么这些 v 组成的集合称之为 L 的核 (kernel).

如果 S 是 V 的一个子空间，那么 L(S) 称为 S 的像 (image).

而整个向量空间 V 的 image, L(V), 称为 L 的 range.

(To be continued..)